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Und sie wabbelt doch - die Erde

Beim Chandler-Wobble handelt es sich um ein Wackeln, nämlich der Erdachse (freie Polbewegung) mit einer Periode von 435 Tagen, und nicht um ein Wabbeln wie es die Wortähnlichkeit (faux amis) nahelegt. Das Phänomen wurde von Seth Carlo Chandler entdeckt und nach ihm benannt. Das Wackeln wird nach neueren Erkenntnissen hervorgerufen durch die Atmosphärischen Gezeiten, deren Vektor sich im Jahresverlauf auf einer Ellipse mit einem Achsenverhältnis von 0,83 bewegt, und die theoretische Resonanzperiode von 365,242/0,83 = 440 Tage befindet sich in guter Übereinstimmung mit dem tatsächlich beobachteten Wert.

Jetzt ist die Erde aber alles andere als ein massiver, kugelförmiger, starrer Gesteinsbrocken, und in gewisser Hinsicht gibt es zwischen ihrem inneren Aufbau und einem Wackelpudding - jedenfalls einem, den man einige Tage im Kühlschrank vergessen hat - gewisse Parallelen. Wenn man ihn wackelt, dann wabbelt er und je nach Zersetzungsgrad schwappt auch noch Wasser in der Schale. So gesehen wäre es sogar eher erstaunlich, wenn die Erde nicht wabbeln würde, nicht wahr? Faux amis hin oder her, sie wabbelt doch, und zwar mit einer Periode von ca. 270 Jahren.

Die Meßreihe

Der Internationale Erdrotationsdienst IERS (engl. International Earth Rotation Service) ist eine internationale Organisation zur Messung und Berechnung der Erdrotationsparameter und Bereitstellung eines Bezugssystems für astronomische und geografische Positionsdaten.

Das IERS stellt die seit dem 1.1.1846 erfaßten Zeitreihen der Erdrotationsparameter, insbesondere der Polbewegung, auf seiner Web-Seite zum Download zur Verfügung: https://datacenter.iers.org

Für unsere Zwecke ist der Datensatz EOP C01 IAU2000 (1846-now) von Interesse. Dabei handelt es sich um eine Zeitreihe der gemessenen Polverschiebungen und zwar für den Zeitraum von 1846 bis einschließlich 1889 in Intervallen von 10 Meßwerten pro Jahr und ab 1890 bis heute von 20 pro Jahr. Mit dem folgenden Befehl laden wir die Daten im Textformat herunter:

   curl -O https://datacenter.iers.org/data/186/eopc01.iau2000.1846-now

Bei diesem Datensatz befindet sich die Zeitachse in der ersten Spalte in der Einheit Tage.

# COMB   EARTH ROTATION DATA IN THE IERS FORMAT  (Cf. format.eop file) : EOP(C01)
#
#
#
#              EARTH ORIENTATION PARAMETERS                                UNCERTAINTY                                                         CORRELATIONS                           INDICATORS                RATES
#
#
#  MJD         PM-X      PM-Y       UT1-TAI       DX           DY          X-ERR     Y-ERR      UT1-ERR    DX  -ERR   DY  -ERR        RMS      CORR      CORR      CORR      CORR     IND1     IND2    IND3     XRT       YRT        LOD         DXRT       DYRT       XRT-ERR   YRT-ERR    LOD-ERR     DXRT  -ERR  DYRT  -ERR
#              SECONDS   SECONDS    SECONDS       SECONDS      SECONDS     SECONDS   SECONDS    SECONDS    SECONDS    SECONDS         DELAY    X-Y       X-U       Y-U       DX-DY                              SECONDS   SECONDS    SECONDS     SECONDS    SECONDS    SECONDS   SECONDS    SECONDS     SECONDS     SECONDS
#              OF ARC    OF ARC     OF TIME       OF ARC       OF ARC      OF ARC    OF ARC     OF TIME    OF ARC     OF ARC          PSEC                                                                      OF ARC    OF ARC     OF TIME     OF ARC     OF ARC     OF ARC    OF ARC     OF TIME     OF ARC      OF ARC
#                                                                                                                                                                                                               PER DAY   PER DAY    PER DAY     PER DAY    PER DAY    PER DAY   PER DAY    PER DAY     PER DAY     PER DAY
#  (days)         (")       (")        (s)          (")          (")         (")       (")       (s)        (")        (")            (ps)                        (     unitless       )                        ("/d)     ("/d)      (s)         ("/d)      ("/d)      ("/d)     ("/d)      (s)         ("/d)       ("/d)
#
   -4703.268 -0.056700 -0.100900   0.0000000      0.000000     0.000000    0.073480  0.090000   0.0000000  0.000000   0.000000          0.     0.000     0.000     0.000     0.000         0      0      0      0.000000  0.000000   0.000000      0          0        0.000000  0.000000   0.000000      0           0
   -4666.744 -0.156690 -0.190890   0.0000000      0.000000     0.000000    0.073480  0.090000   0.0000000  0.000000   0.000000          0.     0.000     0.000     0.000     0.000         0      0      0      0.000000  0.000000   0.000000      0          0        0.000000  0.000000   0.000000      0           0
   -4630.220 -0.256680 -0.240880   0.0000000      0.000000     0.000000    0.073480  0.090000   0.0000000  0.000000   0.000000          0.     0.000     0.000     0.000     0.000         0      0      0      0.000000  0.000000   0.000000      0          0        0.000000  0.000000   0.000000      0           0
   -4593.695 -0.276670 -0.110870   0.0000000      0.000000     0.000000    0.073480  0.090000   0.0000000  0.000000   0.000000          0.     0.000     0.000     0.000     0.000         0      0      0      0.000000  0.000000   0.000000      0          0        0.000000  0.000000   0.000000      0           0
   -4557.171 -0.226660 -0.010860   0.0000000      0.000000     0.000000    0.073480  0.090000   0.0000000  0.000000   0.000000          0.     0.000     0.000     0.000     0.000         0      0      0      0.000000  0.000000   0.000000      0          0        0.000000  0.000000   0.000000      0           0
...

Dabei entspricht der Zeitpunkt -4703,268 dem dezimalen Jahr 1846,00000, und die Zeitskala kann in Jahreszahlen bis Heute wie folgt umgerechnet werden:

   t/a = (MJD + 4703,268)/365,24219 + 1846

Für eine Fourier-Analyse ist die Zeitreihe mit ihren äquidistanten Meßpunkten an und für sich wie gemacht, allerdings stört, daß es zwei Regime gibt, nämlich mit 10 und 20 Meßpunkten pro Jahr. Im erstgenannten Regime wird man zusätzliche Meßpunkte interpolieren müssen, bevor man an die Fourier-Transformation gehen kann. Für die Konvertierung der Zeitspalte in Dezimaljahre und die Interpolation der fehlenden Werte stelle ich den C-Quellcode des Kommandozeilen-Tools eopconv auf GitHub zur Verfügung - cyclaero/cagconv.

Die Daten-Konvertierung

  1. Klone das cagconv-Projekt aus dem GitHub-Repository cyclaero/cagconv:
       cd ~/install
       git clone https://github.com/cyclaero/cagconv.git cagconv
       cd cagconv
  2. Kompiliere eopconv.c:
       cc -g0 -O3 eopconv.c -Wno-parentheses -lm -o eopconv
  3. Download der Zeitreihe der Erdrotationsparameter:
       curl -O https://datacenter.iers.org/data/186/eopc01.iau2000.1846-now
  4. Konvertierung der Zeitachse in Dezimaljahre, extrahieren der x-/y-Parameter der Polbewegung und interpolieren von Zwischenintervallen für den Zeitraum von 1846 bis 1889:
       ./eopconv eopc01.iau2000.1846-now eop-1846-2022.tsv
       head eop-1846-2022.tsv
    # Time base:   18.2621095
    # Time unit:   d
    #
    # COMB   EARTH ROTATION DATA IN THE IERS FORMAT  (Cf. format.eop file) : EOP(C01
    #
    t/a	x/″	y/″
    1846.000	-0.056700	-0.100900
    1846.050	-0.106695	-0.145895
    1846.100	-0.156690	-0.190890
    1846.150	-0.206685	-0.215885
  5. Öffnen der resultierenden TSV-Datei mit der bevorzugten Diagramm- und/oder Datenanalyseanwendung, z.B. mit CVA:

Wir sehen den Verlauf der Polbewegung in x-Richtung (Richtung des Nullmeridians) in der Einheit Bogensekunden über 176,25 Jahre mit 3526 Datenpunkten mit einem Zeitabstand von 0,05 Jahren bzw. 18,2621 Tagen pro Punkt.

Die diskrete Fourier-Transformation

Für die diskrete Fourier-Transformation einer Zeitreihe mit äquidistanten Meßpunkten, was wie gesagt zu 100 % auf die EOP-Zeitreihe zutrifft, können wir unter einigen Open-Source-FT-Bibliotheken wählen. Unter diesen scheint die FFTW - Fastest Fourier Transform in the West die beliebteste zu sein. Ich habe mich jedoch für FFTS - The Fastest Fourier Transform in the South entschieden, weil die Lizenz weniger restriktiv ist und FFTS für fast jeden Anwendungsfall frei verwendet werden kann. Und dank des Chirp-Z-Algorithmus von Bluestein ist es nicht mehr notwendig, daß die Anzahl der Punkte eine Potenz von 2 ist, damit die Diskrete Fourier-Transformation schnell berechnet werden kann. FFTS ist in CVA bereits eingebaut und kann direkt verwendet werden.

Im Spektrum sehen wir 2 Hauptpeaks bei den Frequenzen 0,00229842/d (Periode 1/0,00229842 = 435,1 Tage) und 0,00273325/d (Periode 1/0,00273325 = 365,9 Tage). Der erste Peak steht für die Chandler-Schwingung, und der zweite Peak für die Erdrotation.

Das heißt die Polbewegung wird im wesentlichen durch die Überlagerung zweier Schwingungen bestimmt, und das verursacht auch die deutlich zu erkennende Schwebung im Verlauf der Meßdaten. Um den Chandler-Hauptpeak gruppieren sich noch kleinere Satellitenpeaks mit Perioden von 429 bis 453 Tagen. Dagegen hat der Jahres-Peak nur eine Schulter bei 363,8 Tagen, und der gewichtete Mittelwert ergibt:

   (0,0850413 + 0,0275206)/(0,00273325*0,0850413 + 0,00274878*0,0275206) = 365,357 d

Dieses Ergebnis weicht nur um 0,03 % vom Erwartungswert 365,242 d ab. Das ist insofern interessant, als daß man die Variationen in der Chandler-Periode (Satellitenpeaks) nicht als durch Meßfehler hervorgerufene Artefakte abtun kann. Mit anderen Worten, die Variationen sind real.

Visualisierung der Polbewegung

Wie bereits oben erwähnt, gibt die x-Koordinate die Polbewegung in Richtung des Nullmeridians in Nord→Süd-Richtung (von oben nach unten) an. Die y-Koordinate läuft senkrecht dazu in Ost→West-Richtung (von rechts nach links). Die Einheit beider Koordinaten ist Bogensekunde. Der Polumfang der Erde beträgt 40 007 863 m, und damit kann man einfach die Einheit von Bogensekunde in Meter umrechnen. Damit unser kartesisches Koordinatensystem bei der x/y-Darstellung nicht spiegelverkehrt kopfsteht, kehren wir mit den Vorzeichen einfach die Laufrichtungen beider Koordinaten um, hier z.b. für x:

   x = -x·(40007863 m)/(360 °/m)/(3600 s/°)

Die Koordinatentransformationen können direkt in CVA vorgenommen werden. Damit man im Diagramm der Polbewegung über 176,25 Jahre den Verlauf besser erkennt, wird vor der Darstellung für beide Koordinaten eine Savitzky-Golay-Glättung in 2 Läufen mit einem Fenster von 17 und einer Polynom-Ordnung von 7 durchgeführt.

Wir schauen nun 176 Jahre lang im Zeitraffer von oben auf den Nordpol. Die Polbewegung ist in Metern. Der Osten ist rechts und die vertikale Achse kommt unten von Greenwich.

Der Mittelpunkt der Polbewegung wandert über die Jahrzehnte langsam um ein paar Meter von Nordost nach Südwest aus.

Das schöne am Savitzky-Golay-Filter ist, daß er auf Wunsch auch die Ableitungen frei Haus mitliefert. Spannend sind die zweiten Ableitungen von x und y nach der Zeit, denn das sind die jeweiligen Beschleunigungen, und die können uns im Prinzip etwas über die wirkenden Kräfte aussagen, denn schließlich gilt F = m·a. Dazu stellt man in CVA die Zeiteinheit auf Sekunde (s) um, die Zeitbasis ist damit (18,2621095 d)·(86400 s/d) = 1577846,261 s. Die Anzahl der Glättungs-Läufe muß auf 1 gesetzt werden, denn mit 2 erhielte man als Ergebnis die vierte Ableitung.

Damit man nun im Diagramm nicht von den vielen Nachkommanullen erschlagen wird, lassen wir uns die Beschleunigungen ax und ay in pm/s2 - Pikometer (10-12 m) pro Sekunde-Quadrat - anzeigen.

Der Kurvenverlauf von 1846 bis einschließlich 1899 ist in orange, der Rest bis heute in violett aufgetragen. Vor 1900 gibt es mehr und stärkere Ausreißer der Beschleunigungswerte. Zu jener Zeit waren die Messungen nunmal ungenauer. Das violette Wollknäuel scheint ein klein wenig nach rechts geneigt zu sein, vielleicht habe ich aber auch nur etwas zu lange drauf gekuckt. So oder so findet sich auch hier nichts, was auf eine kurzfristige, nachhaltige Verschiebung des Zentrums der Polbewegung hindeuten würde.

Aber schauen wir doch einmal genauer auf den Verlauf vor und nach den Erdbeben mit Stärken ≥9 in der neueren Zeit, vielleicht gibt es ja Auslenkungen.

Ereignis Datum Stärke seismische Energie in PJ* dezimales Datum**
Erdbeben von Valdivia (Chile) 1960-05-22 9,5 11220 1960,388
Karfreitagsbeben (Alaska) 1964-03-27 9,2 3981 1964,235
Erdbeben im Indischen Ozean (vor Sumatra) 2004-12-26 9,1 2818 2004,984
Tōhoku-Erdbeben (östlich vor Honshū, Japan) 2011-03-11 9,1 2818 2011,189

* 101,5·Stärke+4,8/1015
** Schaltjahr: a + (∑dm-1 + d)/366; sonst: a + (∑dm-1 + d)/365

Mit Hilfe des dezimalen Datums gelingt die schnelle Zuordnung zum Verlauf der Polbewegung. Wir schauen jeweils auf 2 Jahre vor und nach den oben in der Tabelle aufgeführten seismischen Ereignissen. Die Kurven sind nicht geglättet.

Die Erdbeben hatten offenbar keinen akuten Einfluß auf die Polbewegung. Das Valdivia-Beben kommt zwar zu einer Zeit mit einer Abweichung von 1 m, aber am falschen Ende, und zu jener Zeit lagen wohl die Meßfehler in dieser Größenordnung. Bei den anderen Erdbeben ist nicht die kleinste Auslenkung zu erkennen. In der Sequenz der Diagramme von Valdivia bis Alaska (obere Reihe) kann man allerdings eine leichte Polverschiebung von West nach Ost erkennen und zwar in Gegenrichtung zum langfristigen Ost→West-Trend. Einen Zusammenhang mit dem Valdivia-Beben geben die Daten aber so ohne weiteres nicht her.

Man erkennt in dieser Sequenz der Diagramme, und zwar unabhängig von den Beben, die Auswanderung des Pols in Richtung Südwest und die ist jedenfalls sehr langsam, d.h. niederfrequent.

Niederfrequenzanalyse

Prinzipiell können mit der diskreten Fourier-Transformation von Zeitreihen mit der Punkteanzahl N im Zeitinterval ∆t vom Zeit- ins Frequenz-Regime nur Frequenzen im Bereich 1/(N·∆t) bis 1/(2·∆t) abgebildet werden, und das ist im vorliegenden Fall mit ∆t = 18,26211 d und N = 3526 der Bereich von 0,00001553/d bis 0,02738/d bzw. Perioden von 36,52 bis 64392 Tagen - 64392/365,242 = 176 Jahre, wobei die ganz niedrigen Frequenzen im genannten Bereich bereits weniger signifikant sind. Wenn man sich über niederfrequente Vorgänge ausserhalb des Fourier-Bereichs ein Bild machen möchte, dan bleibt einem nicht anderes als die Meßkurven genauer anzuschauen. Mit genauer meine ich, daß durchaus geeignete mathematische Transformationen erlaubt sind, aber Vorsicht, mit genauer ist nicht gemeint, daß man so lange draufschaut, bis man sich was einbildet.

Die Koordinaten-Transformation

Für die weitere Auswertung ist es hilfreich, die ungeglättete Punkteschar auf die jeweiligen Mittelwerte der x/y-Daten zu normieren mit:
   xm = 0,030664 m, ym = -4,313017 m

Die Neigung erhält man dann durch eine simple lineare Regression zu:
   ∆x/∆y = 0,169249; α = arctan(0,169249) = 9,6...°

Nun drehen wir noch das Koordinatensystem so, daß die Abzisse (hier die y-Koordinate) auf der Regressionsgeraden liegt. Die Drehmatrix ist:
   [[cos(9,6...), sin(9,6...)], [-sin(9,6...), cos(9,6...)]] =
   [[0,9859779281, 0,1668757783], [-0,1668757783, 0,9859779281]]

Das gedrehte Koordinatensystem ergibt sich nun einfach durch Matrizenmultiplikation der gezeigten Drehmatrix mit der Zeitreihe der [y, x]-Vektoren:
   y’ = y· 0,9859779281 + x·0,1668757783
   x’ = y·-0,1668757783 + x·0,9859779281

Die transformierte Ordinate (x’ - von Süden nach Norden, orange) kommt nun nicht mehr von Greenwich sondern schneidet Westafrika und das Mittelmeer, Italien und passiert vom Bodensee kommend senkrecht ganz D, geht scharf links an Buxtehude vorbei und tritt etwas rechts von Flensburg aus D wieder aus. Über Dänemark und einen Zipfel von Norwegen läuft sie dann durch das Nordmeer zum Nordpol und führt auf der anderen Seite fast durch die Beringstraße (nur knapp daneben) zwischen der Tschuktschen-Halbinsel und Alaska und trifft nach ihrem Lauf durch das Beringmeer, den Stillen Ozean, den Südpazifik bis zur Antarktis auf keine einzige Landmasse mehr.

Mit der Koordinaten-Transformation ist es offenbar gelungen, das langfristige Auswandern fast komplett auf die neue Abszisse (y’) zu verlagern, denn bis auf ein Zipfelchen ab etwa 2005 zappelt die Kurve über x’ strikt um die Nulllinie herum.

Die transformierte Abszisse (y’ - von Westen nach Osten, hellblau) kommt im Westen vom Äquator im pazifischen Ozean links an der Küste Ecuadors, geht mitten durch Panama, Kuba, Florida, dann durch die geringste Ausdehnung von Nordamerika, und trifft schließlich über die Hudson Bay und Nunavut auf den Nordpol. Sie geht dann im Osten mitten durch das asiatische Russland, die Mongolei, China, Vietnam, Myanmar, Thailand, Malaysia und trifft knapp links neben Sumatra den Äquator im indischen Ozean. Sowohl im Westen als auch im Osten befinden sich südlich des Äquators bis hin zur Antarktis keine nennenswerten Landmassen.

Im letzten Diagramm wurde mit ein wenig Phantasie ein roter Sinus mit einem Peak-to-Peak-Abstand von 135 Jahren eingezeichnet. Ich hätte auch eine Ausgleichsgerade reinmalen können, nur hätte ich dazu schon etwas mehr Phantasie aufbringen müssen.

Die Wabbeltheorie

Mit Ausnahme des roten Sinus (bzw. der nichtgemalten Geraden), wurden bisher ganz phantasielos nur die Beobachtungen detailliert ausgeführt und eingeordnet.

Ein Sinus würde bedeuten, da schwingt etwas und in diesem Fall mit einer Periode von etwa 270 Jahren. Eine Gerade würde bedeuten, daß die Erdachse in Richtung Westen um ca. 10 cm pro Jahr kippt, und zwar Non-Stop.

Non-Stop bereitet meiner Vorstellungskraft enorme Schwierigkeiten, ein zyklisches Phänomen dagegen kaum, denn die Achse wackelt doch schon mit Perioden von 365 und 435 Tagen und nun käme eben noch ein gaanz ganz langsames Schunkeln dazu. Für die Antwort auf die Frage nach der Ursache des Schunkelns brauchen wir wieder ein wenig Phantasie, aber wirklich nicht viel.

Man stelle sich vor, die Erde würde sich zwischen den Polen zyklisch stauchen und strecken und sich am Äquator jeweils verdicken bzw. verschlanken (wabbeln). Nun läuft der hellblaue Längengrad im Osten (99,6 °) senkrecht durch die größte Ausdehnung Asiens und im Westen (-80,4 °) durch die geringste Ausdehnung Nordamerikas. Die Stauchung erfährt also im Osten einen höheren Widerstand als im Westen und deshalb weicht der Pol ein wenig in letztere Richtung aus. Auch bei der Streckung gibt Asien im Osten weniger leicht nach und zieht den Pol zurück.

Demnach hätten wir 2002 das Stauchungs-Maximum erreicht und die langsame Streckung hätte bereits begonnen.

Soweit meine Theorie. Ich höre mir gerne auch andere Theorien an, wenn Sie denn den Sachverhalt (vielleicht sogar besser) erklären.

Copyright © Dr. Rolf Jansen - 2022-04-19 23:48:44

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